Descriptif des cours

Intervenant : Charles DAPOGNY (Sorbonne Université, France)

Titre : Une introduction aux aspects pratiques de l’optimisation de formes

Description : Cette première partie vise à introduire les concepts de base de l’optimisation de forme, et à présenter quelques outils numériques simples mais efficaces pour le traitement numérique de tels problèmes. Une première partie du cours est consacrée à des rappels – plus ou moins ciblés en fonction des connaissances et réactions de l’audience – concernant des méthodes numériques de base qui sont omniprésentes en optimisation de formes, tels que la résolution de problèmes aux limites par la méthode des éléments finis, l’optimisation numérique, etc. Des outils numériques dédiés seront présentés (notamment le logiciel libre FreeFem) au cours d’une séance de travaux pratiques de 1h30, accompagnée de supports pédagogiques (canevas de codes, …).

Intervenant : Pierre LISSY (Ecole nationale des ponts et chaussées,)

Titre : Stabilité polynomiale pour les EDP linéaires

Description : 

La notion la plus couramment étudiée en stabilité ou en stabilisation des systèmes (typiquement vers l’équilibre 0) est celle de stabilité exponentielle, qui impose un taux exponentiel de convergence dans une certaine norme. Dans le cas des systèmes linéaires autonomes en dimension finie, c’est essentiellement la seule notion raisonnable de convergence, comme c’est aussi le cas pour les semi-groupes dans la norme d’énergie naturelle. L’objectif de ce mini-cours est d’expliquer comment on peut assouplir cette notion de stabilité afin d’autoriser des taux de stabilisation plus faibles. En particulier, on se concentrera sur le cas de l’opérateur iA−BB^* (A étant un opérateur autoadjoint et BB∗ un feedback collocalisé). On présentera des exemples simples pour lesquels on a accès à des taux explicites de décroissance polynomiale, puis on expliquera le lien entre stabilité exponentielle/polynomiale et observabilité/contrôlabilité approchée quantitative, ou encore des conditions de type paquets d’ondes.

Intervenant : Ivonne RIVAS (Université de Cali, Colombie)

Titre : Introduction au contrôle frontière

Description : Parmis les différentes formes de contrôle des équations aux dérivées partielles, nous nous concentrerons sur la notion de contrôle frontière. Le cours abordera dans un premier temps certains aspects particuliers mais importants des EDP qui seront utiles pour garantir le caractère bien posé des équations. Nous passerons ensuite à l'analyse de certaines propriétés particulières comme les régularités cachées, le prolongement unique, qui peuvent apparaître dans des équations comme KdV ou KS. Pour finir, nous étudierons différentes techniques de contrôle frontière d'EDP comme les calculs directs, la méthode HUM, les techniques de moments.

Intervenant : Ivan MOYANO (Université Côte d'Azur, France)

Titre : Analyse spectrale pour l’opérateur de Laplace

Description : Dans ce cours, nous nous proposons de passer en revue le théorème spectral dans le contexte du Laplacien en quelques contextes issus de l'analyse et la géométrie. On donne d'abord les notions abstraites concernant le spectre d'un opérateur auto-adjoint non borné, les différents types de spectre, la notion de résolvante, de valeur propre discrète et aussi généralisée et enfin le calcul fonctionnel classique. Dans le cas du Laplacien défini dans R^d, on fera le lien entre la transformée de Fourier et le théorème spectral, ainsi que les principes d'incertitude classiques. Nous pourrons ensuite étudier le cas d'une variété Riemannienne compacte régulière, où le spectre est discret et présente des connexions importantes avec la topologie de la variété. Enfin, on pourra aborder, si le temps permet, l'asymptotique de Weyl dans ce contexte.

Intervenant : Diaraf SECK (Université de Dakar, Sénégal)

Titre : Optimisation Topologique

Description: L'optimisation topologique est une partie de l'optimisation de forme et plus généralement de l'analyse géométrique des formes optimales. La variable principale est la géométrie des domaines tout en changeant la topologie. L'objectif de ce cours est d'introduire cette notion. Une revue de méthodes d'analyse de la sensibilité topologique sera faite. Et enfin, l'attention sera portée sur quelques problèmes sous contraintes aux limites non résolus.

Intervenant : Camille LAURENT (Université de Reims, France)

Titre : Contrôle et prolongement unique

Description : Nous établirons tout d'abord le lien entre contrôle approchée et prolongement unique pour des équations aux dérivées partielles linéaires. Ensuite, nous présenterons quelques aspects de la théorie générale de Hörmander en insistant en particulier sur les inégalités de Carleman. Nous donnerons quelques exemples d'applications au contrôle comme la chaleur ou les ondes, selon le temps disponible.

Intervenant : Ilias FTOUHI (Université de Nîmes, France)

Titre : Une introduction aux aspects théoriques de l'optimisation de formes

Description : Dans ce cours, nous introduisons le cadre théorique de l’optimisation de forme. Nous commençons par présenter quelques topologies classiques sur les ensembles. Ensuite, nous abordons certains outils fondamentaux utilisés pour démontrer l’existence d’une forme optimale. Enfin, nous portons une attention particulière à la contrainte de convexité de la forme, que nous discutons à la fois d’un point de vue théorique et numérique.

Intervenant : Gisella CROCE (Université Paris-1 Panthéon Sorbonne, France)

Titre : L'inégalité isopérimétrique et sa stabilité

Description : L'inégalité isopérimétrique affirme que la boule minimise le périmètre parmi tout les ensemble de mesure fixée. Dans ce cours, nous donnerons plusieurs preuves de cette inégalité, dans le plan et dans RN, comme la preuve par l'inégalité de Wirtinger ou celle basée sur le théoreme de Brunn-Minskowski. Ensuite nous étudierons la stabilité de la boule comme solution du problème isopérimétrique,c'est à dire que nous chercherons à estimer la distance entre la boule et un ensemble de même mesure à travers la différence des périmètres.

Intervenant : Ludovic RIFFORD (Université Côte d'Azur et AIMS Sénégal)